Родилась в Бате в семье Генри Суинбёрна Джонсона и его супруга Леоноры Тэмар. Образование получила в институте Росхолм в Уэстон-сьюпер-Мэр, а потом училась в Царской академии драматического искусства в Лондоне. В первый раз на театральной сцене Суинбёрн появилась в двенадцатилетнем возрасте, а постоянные выступления у неё началась во время учёбы в академии в 1916 году. В предстоящем актриса была достаточно нужна на театральных сценах Великобритании, а в 1923 году появилась и в США на Бродвее.

В 1921 году стартовала кинокарьера Суинбёрн с маленькой роли в английском немом кинофильме. За следующие годы собственной карьеры в кино, актриса снялась в полусотне кинокартин, посреди которых «Цитадель» (1938), «Человек в сером» (1943), «Камо грядеши?» (1951), «Преданные» (1954), «Елена Троянская» (1956) и «Анна на тыщу дней» (1969). На телевидении Суинбёрн запомнилась ролью тёти Хестер Форсайт в пользующемся популярностью английском телесериале 1967 года «Сага о Форсайтах».

Актриса три раза была замужем. Всё трое её мужей, Фрэнсис Листер, Эдвард Эшли-Купер и Эсмонд Найт, были актёрами, и брак с каждым из их закончился разводом. Нора Суинбёрн погибла в Лондоне а мае 2000 года в возрасте 97 лет.