Происходил из обедневшей дворянской семьи.
Пению учился в Придворной вокальной капелле. В 1814—29 выступал в петербургском Большенном театре, дебютировав в партии Модеста в опере «Ям» А. Н. Титова (Музыкальный словарь именует роль Василия Горюна). Совершенствоваться в освоении актерского мастерства ему помогал В. Самойлов. По свидетельству современников, обладал выдающимся по красе и силе голосом незапятнанного и мягенького тембра, которым отлично обладал; певцу были близки лирические партии. Особым фуррором воспользовался в операх А. Титова, К. Кавоса и в почти всех водевилях.. Музыкальная энциклопедия особо подчеркивает музыкальное дарование артиста.
Был первым исполнителем очень многих ролей. Посреди партий: Василий («Крестьяне, либо Встреча незваных» композитора Титова по пьесе А. А. Шаховского), Дальчини («Ломоносов, либо Рекрут-стихотворец»), Храбренко («Удача от беды, либо Приключение в жидовской корчме», текст П.Н.Семенова, музыка И.А.Ленгарда, 1817), Тороп («Добрыня Никитич, либо Ужасный замок» Катерино Кавоса), Попов (опера-водевиль «Актеры меж собою, либо 1-ый дебют актрисы Троепольской»), Эрнест («Суженого жеребцом не объедешь, либо Нет худа без добра»), Альсим («Светлана, либо 100 лет в один день»), Эдуард (водевиль «Дом безумных, либо Странноватая свадьба» Верстовского), Стрельский («Карантин») Верстовского); Гарун («Гений Итурбиель, либо Тыща лет в 2-ух деньках визиря Гаруна»), Левсил («Жар-птица, либо Приключения Ивана-царевича»), Разрубов («Лунная ночь, либо Домовые»), Леонардо («Пиемонтские горы, либо Взорвание Чортова моста», авторизованный перевод А.Шеллера, музыка К. Кавоса и И. Ленгарда); Красников («Пан Твардовский» Верстовского), Рославлев-старший («Кто брат, кто сестра, либо Обман за обманом» на текст А. С. Грибоедова и П. А. Вяземского и музыку Верстовский, Алексей Николаевич 1824), Вельский («Продажная одноколка, либо Похищенная Европа» композитора Ф. Шольца), Флорвий («Опрокинутые повозки» композитора Буальдьё), Эрнест («Отец и дочь»), Лейчестер («Елизавета, царица Английская»), Телемак («Телемак на полуострове Калипсо»), Алидор («Сандрильона» Д. Штейбельта), Антонио («Сорока-воровка, либо Опасность судить по наружности»), Бельмонт («Похищение из сераля»), Карл («Саржин» Э. Мегюля), Альмавива («Севильский цирюльник» Дж. Россини), Макс («Вольный стрелок»), Паолино («Тайный брак» Чимарозы), Иосиф, Публий Гораций («Гораций и Куриаций»), Арман («Водовоз»), Блондель, Оливье, Валер, Юрко, Студент («Лунная ночь, либо Домовые» Алябьева).
Исполнял сольные партии в ораториях «Времена года» И. Гайдна (22 дек. 1815) и «Архангел Михаил» И. Миллера (1817 и 1818).
Партнерами по сцене были знаменитые артисты: П. Злов, А. И. Иванова, В. Рязанцев, В. и С. Самойловы, Е.C. и С.H. Сандуновы, Н.C. Семенова, А. Ефремов, В. Шемаев, М. Шелехова, Е.В. Рыкалова (Марсель).
М. И. Глинка в собственных «Записках» именует Климовского посреди «весьма приметных певцов», вместе с Самойловым и Зловым. «По свидетельству современников, К. был человеком слабенькой воли и неуравновешенного нрава. Богемный стиль жизни, который вел певец, подорвал его силы, и еще в юности он растерял голос», — заключает Большая биографическая энциклопедия. В 1828 году он покинул сцену.
