В 1846 поступил в т. н. консерватор-класс Огромного театра. В том же году был зачислен в оперную труппу Огромного театра. Пел партии 2-го тенора, исполнял песни, романсы собственного сочинения.
Участвовал в спектаклях Малого театра, исполняя роли с пением (1-ый исполнитель роли Яши Гуслина – «Бедность не порок», 1854).
С 1854 - в Александринском театре.
С 1855 выступал в провинции (в Костроме, Н. Новгороде, Пензе и др. городках). Выступал в драмах, операх и опереттах (в т.ч. в своей «Сон в майскую ночь», к которой он сам сочинил музыку).
Климовский был актёром нового для тех пор реалистического направления, уходящего от традиционной формы с наигранностью чувств, он усиленно пропагандировал произведения Островского, не один раз ставил его пьесы в свои бенефисы. Роли: Иван («Барская спесь, либо Анютины глазки» Д. Т. Ленского), Мордоплюев («Жених из Ножевой линии» Александра М. Красовского), Митя («Бедность не порок»), Иван («Суд человеческой - не божий» А. Потехина) и др.
О театральной деятельности Климовского вспоминал выдающийся театральный актёр Александринского театра и антрепренёр Пётр Михайлович Медведев: Медведев П. М., Мемуары, Л., 1929, с. 124-27, 329-33: "... Это была светлая личность, имевшая огромное воздействие на всю труппу. Евгений Иванович закончил (по юридическому факультету) Столичный институт. Еще будучи студентом, он был в кружке А.Н.Островского, Т.И.Филиппова, П.М.Садовского и др. Музыкант и поэт всем своим существом, он играл на гитаре и дивно пел, большею частью собственной композиции романсы и песни. По окончании курса Е.И. кружком Островского был представлен директору театра А.Н.Верстовскому как певец и композитор... Из Е.И. выработался очень неплохой артист на соответствующие роли... Этот профессиональный артист и высокочестный человек занес свежайшую струю в нашу жизнь... Невольно он сделался нашим учителем, Е.И. не читал нам лекций, не ораторствовал, а просто вел беседу об искусстве. Какими познаниями он обладал и как обогатил нас!.. Мы, молодежь, направляемая Климовским, шли стремительно вперед..."
Климовский известен и как композитор. Он - создатель бессчетных романсов, создатель известной песни «Хуторок» на слова А. Кольцова. В 1861 на сцене Нижегородского театра была поставлена его оперетта "Сон в майскую ночь".
Значимый энтузиазм представляют записи-дневники Климовского, обхватывающие 1839-1860 (хранятся в Театральном музее им. Бахрушина), где он ведает о собственной дружбе с А.Н. Островским, П.М. Садовским, Т.Г.Шевченко, Л.Л.Леонидовым и др.
Супруга – актриса Климовская, Ольга Яковлевна, урождённая Браво.
